矩阵的应用及案例分析|矩阵的应用及案例

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　　摘 要：随着现代科学技术与生产力的高速发展，各个学科领域知识的相互交融是必然趋势，线性代数的相关知识已经被广泛应用于各个领域。矩阵是线性代数中一个非常重要的板块，它作为最基本的数学工具，对其进行研究和拓展极为重要。笔者从矩阵基础知识及基本运算开始，首先介绍矩阵在数学各个分支学科的应用，谈及了矩阵在三角形面积，数学分析，图论、信息密码中的应用及相关案例。接着拓展到了经济领域、人文领域、生物领域的应用及案例分析。用一个个案例充分地展现了矩阵的巨大应用价值，细致地展示了矩阵在解决现实问题中带来的方便与快捷，生动形象地论述了矩阵作为一��基本数学工具应用的广泛性及重要性。
　　关键词：线性代数；矩阵；案例
　　【中图分类号】G 【文献标识码】B 【文章编号】1008-1216（2017）12B-0100-04
　　在高等代数这门课中，主要包含了两个部分：第一部分是多项式与方程，第二部分是矩阵和二次型。这两部分中最为重要的是线性代数部分。可以说，线性代数是高等代数的一个较为重要的部分。
　　矩阵又是线性代数中最为常用的工具，其被广泛应用于数学分析、统计分析等领域中。随着当代科学技术的进步，矩阵还被应用于物理学及计算机科学中，并且迅速拓展到人文、经济、金融、生物等领域。矩阵已然成为各领域研究所不可或缺的数学工具。因此，我们需要进一步对矩阵的应用及案例进行较为细致的分析。
　　一、 矩阵在数学中的应用
　　（一）矩阵在三角形面积中的应用
　　在三角形中，如果我们知道一个三角形三个顶点的坐标分别为 （x1，y1）， （x2， y2）， （x3， y3），那么，这个三角形的面积是：
　　（二）Jacobi矩阵在数学分析中的应用
　　Jacobi矩阵在数学分析中有着非常广泛的应用，例如，我们常用的复合函数求导链式法则。我们先从数学分析中最基本的概念――导数开始说起。
　　一元函数中导数的定义：设有函数y=f（x）在x0附近有定义，对应于自变量的任一改变量?x，函数的改变量为?y=f（?x+x0）-f（x0），此时，如果极限存在，则称此极限值为函数f=（x）在点x0的导数。
　　二元函数中全微分的定义：设函数u=f（x，y）的全改变量?u可以表示为?u=f（x+?x，y+?y）-f（x，y）=A?x+B?y+o（?x2+?y2），且其中A，B与?x，?y无关而仅与x，y有关，则称函数u=f（x，y）在点（x，y）可微，并称A?x+B?y 为u=f（x，y）在点（x，y）的全微分。
　　du=fx（x，y）dx+fy（x，y）dy
　　我们可以利用以上两个定义将微分的概念推广到多元，对于一个n元函数u=f（x1，x2，…，xn ）来说，我们可以写出对应的微分表达式du=dx1+dx2+…+dxn
　　若函数在点x0可微，f"（x0）是一个1×n矩阵：
　　（，，…，）
　　我们常将以上结论运用于由方程组所确定的函数求导法则，设有方程组F（x，y，z）=0，G（x，y，z）=0 我们定义雅克比行列式
　　（三）矩阵在信息密码中的应用
　　研究矩阵在信息密码中的应用一定要提到希尔密码。希尔密码是Hill cipher在1929年提出的一种密码体制，主要运用矩阵的线性变换，把每一个字母看作一个数字，一串字母可以看作一个n×n矩阵，进行加密。希尔密码可以隐藏字符的频率信息，加大了破译的难度。
　　例如，现在我们对“数学真是太美妙了！”进行加密和破译。首先我们假设出要用的字母、声调、符号等对应的数字。我们将二十六个英文字母依次设为数字01，02，03，…，26。将拼音声调中的平声、一声、二声、三声、四声和轻音分别设为数字27，28，29，30，31。标点中的逗号、句号、省略号、感叹号、破折号、冒号、分号分别设为数字32，33，34，…，39。将空格设为数字00。
　　接着将“数学真是太美妙了！”这句话转换为拼音：Shu4 Xue2 Zhen1 Shi4 Tai4 Mei3 Miao4 Le5 ！。再写出密码模式对应的数字：19 08 21 30 24 21 05 28 26 08 05 14 27 19 08 09 30 20 01 09 30 13 05 09 29 13 09 01 15 30 12 05 36。将这33个数字依照次序写成一个6×6的矩阵，不足的位数用00补齐。那么，我们可以写出这个原始密码的矩阵
　　我们需要事先与接收方预定一个保密矩阵，我们将这个保密矩阵记为M。用原始的密码矩阵与这个保密矩阵相乘，得到一个新的密码矩阵。我们记为N，即N=AM。我们把这个加密后的密码矩阵N，依照次序将36个元素写成一个数字串传送给接收方。接收方在收到数字传送串以后，把它写为矩阵N，接着用事先约定好的保密矩阵M进行运算。那么可以得出A=NM-1。再按照字母、声调、符号对应的数字，就可以还原出要传送的密码“数学真是太美妙了！”。
　　从以上这几个例子，我们不仅可以看出数学与各个学科相互交织、相互联系，更可以看出矩阵作为数学运算中的一个基本工具，在数学各个分支中的重要性。
　　二、矩阵在其他领域的应用及案例
　　（一）矩阵在经济领域的应用及案例
　　随着当代科学技术的进步，数学在其他领域的应用越来越广泛和深入。其中最为主要的是在经济领域的应用。数学与经济的交融已经是不可阻挡的新趋势，借用矩阵等数学工具解决经济问题能够带来巨大价值。
　　首先我们介绍投入产出数学模型，它主要是依据投入产出的关系建立数学关系式。它揭示了国民经济各部门之间生产与分配之间的平衡关系，在实际问题中运用十分广泛。例如，我们国家的一个经济系统中，有许多部门相互配合，共同完成经济运转。某一个部门在提供生产资料或消费品的同时，需要消耗其他部门的生产资料进行运作。在这种生产与消耗之间要达到一种平衡。例如，某一座城市的煤矿，发电厂和铁路。煤矿在产煤的同时要依靠电厂生产的电和铁路进行运煤。发电厂在生产电的同时，也在消耗煤。铁路在运行过程中也要消耗煤和电。只有当这三个部门达到一种平衡运作起来，他们才能维持一个经济系统。我们可以运用一下这个经典案例给出的数据，来计算这三个部门的总产值各是多少才能达到平衡？ 　　生产一块钱的煤，需要0.25元运输费。
　　生产一块钱的电，消耗0.65元煤，0.05元电费，需要0.05元运输费。
　　产生一块钱的运输费，消耗0.05元煤，0.01元电费。
　　在一个生产周期内，煤矿要向外运送五万元的煤矿，发电厂要向外输送2.5万元的电力。
　　由以上关系，我们先假设在这个生产周期内，煤矿、发电厂、铁路的生产总值分别是x1，x2，x3那么我们可以得出：
　　所以煤矿、发电厂、铁路的总产值分别为102087元，56163元，28330元。
　　（二）矩阵在人文领域的应用及案例
　　我国正处在历史上人口流动最快的一个时期，人口流动现象主要表现为从农村流向城市，从欠发达地区流向发达地区。可以说，人口从农村流向城镇已然是一个发展的必然趋势。那么，在这种流动规模空前的形势下，城市与乡村的人口数是否会达到一个相对稳定的状态呢？
　　根据国务院农民工工作领导小组对某一座城市的调查数据显示，该城市每年大约有五分之一的农民流向城市，而只有十分之一的城镇居民流向农村。在该城市人口总数保持不变的情况下，这座城市的城市与乡村的人口数是否会达到一个相对平衡的状态？
　　由题意，设该座城市的人口总数为N，初始时城市的人口数为x0，乡村的人口数为y0。
　　在n取极限之后，我们可以看出城市与乡村的人口数会达到一个相对平衡的�钐�。
　　（三）矩阵在生物领域的应用及案例
　　在生物领域，矩阵主要运用于运算生物种群的繁殖情况，矩阵的高次幂可以很好地描述种群多年之后的情况。
　　例如，在某个自然保护区，某种天鹅的最高寿命为15岁，可以将其分为三个年龄组分别是[0，5][6，10][11，15]。第一组中该物种的存活率为二分之一，第二组中该物种的存活率为四分之一，该年龄段的生育率为4，第三组中该物种在此年龄段的生育率为3，假设该种天鹅最先开始共有三千只。那么，在十五年以后，该种天鹅在这三个年龄段的个数分别是多少？
　　所以在十五年以后，该种天鹅在这三个年龄段的个数即可得出。 （下转128页）（上接102页）三、结束语
　　综上所述，这篇论文从了解矩阵的基本运算开始，在掌握矩阵的相关知识的基础上，先涉及了矩阵在数学其他分支学科中的应用及一部分简单运算，后又涉及到矩阵在经济、人文、生物等领域的实际案例。可以看到矩阵应用的广泛性，以及在解决实际问题中所带来的方便。然而其仍有许多重要的应用尚未涉及，研究还要继续完善。
　　参考文献：
　　[1]王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003.
　　[2]吕衍庆.Jacobi阵在数学分析中的一些应用[J].自然科学报，1987，（2）.
　　[3]刘亚国.图论中邻接矩阵的应用[J].张家口职业技术学院学报，2007，（4）.
　　[4]黄玉梅，彭涛.线性代数中矩阵的应用典型案例[J].兰州大学学报，2009，（4）.
　　[5]李明.线性代数中矩阵的应用研究[J].常州工学院学报，2011，（24）.

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